Θεώρημα

Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.

Απόδειξη:
Έστω ότι ω = φ. Αν οι ευθείες ε1, ε2 τέμνονται σε σημείο Γ, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§ 3.10)
Άρα ε1//ε2.










Ιδιότητες παράλληλων ευθειών

Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι παρακάτω προτάσεις.

Πρόταση I
Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Απόδειξη

Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ. 5). Θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε οι γωνίες xAB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2, που είναι άτοπο.
Άρα ω = φ.

ΠΟΡΙΣΜΑ
Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν
i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες,
ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές.

Πρόταση II
Αν δυο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξυ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2.
Απόδειξη

Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2.

Πρόταση III
Αν δυο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη.

Απόδειξη
Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2.